6. Sınıf 5. Ünite

ALAN ÖLÇME

Paralelkenarın Alanı

Paralelkenarın alanı yüksekliği ile yüksekliğin indiği kenar uzunluğu çarpılarak bulunur.

Resimdeki paralelkenarın alanını hesaplamak için ha yüksekliği ile bu yüksekliğin indiği DC kenarının uzunluğu çarpılır yada hc yüksekliği ile bu yüksekliğin indiği BC kenarının uzunluğu çarpılır.  Yani;

Alan(ABCD)=ha.IDCI yada Alan(ABCD)=hc.IBCI dir. 

Paralelkenarda şekildeki gibi farklı yükseklikler çizilebileceğinden, paralelkenarın alanını hesaplarken istediğimiz yüksekliği kullanabiliriz. Sonuçta bulacağımız cevaplar hangi yüksekliği kullanırsak kullanalım eşit olacaktır.

Üçgenin Alanı

Üçgenin Alani bulunurken yükseklik ile yüksekliğin indiği kenar uzunluğu çarpılıp bulunan sonuç 2’ye bölünür.

Yukarıdaki ABC üçgeninin alanını bulmak için; h yüksekliği ile bu yüksekliğin çizildiği BC kenar uzunluğunu çarpıp bulduğumuz sonucu 2‘ye bölmemiz gerekir. Yani;

Alan (ABC) = (h.IBCI)÷2 dir.

Yukarıdaki DEF üçgeni dik üçgendir. DEF üçgeninin ve bu üçgene benzer üçgenlerin alanını bulmak için; DE uzunluğu ile EF uzunluğunu çarpıp bulduğumuz sonucu 2‘ye bölmemiz gerekir. Yani;

Alan (DEF) = (IDEI.IEFI)÷2 dir.

Alan Ölçme Birimleri

Alan Ölçme Birimleri büyükten küçüğe doğru;

kilometrekare, hektometrekare, dekametrekare, metrekare, desimetrekare, santimetrekare, milimetrekare‘ dir.

Alan Ölçme Birimleri sembolle büyükten küçüğe doğru km², hm², dam², m², dm², cm², mm² şeklinde yazılır.

Alan Ölçme Birimlerini birbirine çevrilirken; büyük olan birimi küçük olan birime çevirirken çarpma, küçük olan birimi büyük olan birime çevirirken bölme işlemi yapılır. Birimler birbirine çevirilirken merdivendeki her basamak için 100 sayısı ile işlem yapılır. Yani bir birimi 1 basamak üzerinde bulunan birime çevirirken 100 ‘e bölmemiz, 1 basamak altındaki birime çevirirken 100 ile çarpmamız gerekmektedir.

1 km² = 100 hm² = 10000 dam² = 1000000 m² dir.

1 m² = 0,01 dam² = 0,0001 hm² = 0,000001 km² dir.

1 m² = 100 dm² = 10000 cm² = 1000000 mm² dir.

1 mm² = 0,01 cm² = 0,0001 dm² = 0,000001 m² dir.

Arazi Ölçme Birimleri

Bahçe, arsa, tarla ve benzeri yerlerin alanını ölçmek için Arazi Ölçme Birimleri kullanılır. Arazi Ölçme Birimleri daha büyük alanları ölçmek için kullanılır. Arazi Ölçme Birimleri hektar, dekar ve ar’dır. 

Hektar

Metrekarenin 10.000 katına hektar denir. Yani 1 hektar 10.000 metrekaredir (m²). Hektar ha sembolü ile gösterilir.

Dekar

Metrekarenin 1000 katına dekar denir. Yani 1 dekar 1000 metrekaredir (m²).  

Dönüm, modern ölçü birimlerine geçilmeden önce ülkemizde kullanılan bir alan ölçme birimidir. Normalde dönüm tam olarak dekara eşit değildir; ancak değerlerinin birbirine çok yakın olması nedeniyle halk arasında dönüm ile dekar birbirine eşit kabul edilmekte ve dekar yerine dönüm kullanılabilmektedir. Bizde sorularda  1 dekar = 1 dönüm olarak kabul edeceğiz. Dekar daa sembolü ile gösterilir.

Ar

Metrekarenin 100 katına ar denir. Yani 1 ar 100 metrekareye eşittir (m²). Ar, a sembolü ile gösterilir.

Arazi Ölçme Birimlerinin Birbirine Dönüşmesi:

Arazi Ölçme Birimleri birbirine çevrilebilir, çevirme işlemi yapılırken yukarıdan aşağıya doğru inerken her basamak için 10’a çarpıp, aşağıdan yukarıya doğru çıkarken her basamak için 10’a bölmeliyiz.

1 hektar = 10 dekar

1 hektar = 100 ar

1 dekar = 10 ar

1 ar = 0,1 dekar

1 ar = 0,01 hektar

1 dekar = 0,1 hektar

HACİM

Cisimler 3 boyutlu oldukları için hacimleri vardır. Bu boyutlar en boy ve yüksekliktir. Bir cismin hacmi o cismin içini dolduran birim küplerin sayısına eşittir. Hacim “V” harfi ile gösterilir. 

KÜPÜN HACMİ: 

 Yanda bir kenarı 3 cm olan bir küpün tabanına hacmi 1 santimetreküp olan birim küplerden 3 x 3 = 9 tane yerleştirilmiştir. Küpün yüksekliği de 3 cm olduğundan, tabana yerleşmiş olan 9 küpten yukarıya doğru 3 sıra daha konulur. Böylece küpün tamamına; 3 x 9 = 27 küp yerleştirilmiş olur.   Yani bir küpün hacmi 3 kenarının çarpımına eşittir. Diğer anlamda küpün hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır. Sonuç: V=a.a.a=a3 

DİKDÖRTGENLER PRİZMASININ HACMİ:

 Yanda verilen dikdörtgenler prizmasının tabanınahacmi 1 santimetreküp olan küplerden 4 x 2 = 8 tane yerleştirilmiştir. Prizmanın yüksekliği 3 cm olduğundan şeklin tamamına 3 x 8 = 24 küp yerleşir.Prizmanın hacmine V dersek;   Ayrıt uzunlukları a, b, c olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi V = a x b x c olur. Diğer bir deyişle taban alanı x yükseklik prizmanın hacmini verir. 

KARE PRİZMANIN HACMİ:

  Yukarıdaki kare prizmanın tabanına hacmi 1 santimetreküp olan birim küplerden 3 x 3 = 9 tane yerleştirilmiştir. Prizmanın yüksekliği 4 cm olduğundan prizmanın tamamına 4 x 9 = 36 tane küp yerleşir. Taban kenarının uzunluğu a ve yüksekliği h olan bir kare prizmanın hacmine V dersek;    

SIVILARI ÖLÇME

Sıvı, maddenin ana hallerinden biridir. Sıvılar, belli bir şekli olmayan maddelerdir, içine konuldukları kabın şeklini alırlar, akışkandırlar. Sıvı ölçüsü temel birimi litredir.

Sıvı Ölçüleri

kilolitre(kL)
hektolitre(hL)
dekalitre(daL)
litre(L)
desilitre(dL)
santilitre(cL)
mililitre(mL)

Büyük birimler küçük birimlere çevrilirken, her basamak inişte 10 ile çarpılır.
Küçük birimler büyük birimlere çevrilirken, her basamak çıkışta 10 ile bölünür.
1L = 100 cL

1L = 1000 mL

1L = 1dm3 = 1000cm³

Çember Çizimi ve Çemberin Elemanları

» Sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesine Çember denir. Simit, yüzük, bilezik, hula hop çembere örnek olarak verilebilir. Bu sabit noktaya çemberin merkezi denir.

» Çemberin merkezi ile çember üzerindeki noktaları birleştiren doğru parçalarına çemberin yarıçapı denir.

» Çemberin merkezinden geçen ve iki ucu çemberin üzerinde bulunan yarıçapın 2 katı uzunluğundaki doğru parçasına çemberin çapı denir.

Çemberin Düzlemde Ayırdığı Bölgeler

» Çember bulunduğu düzlemi üç bölgeye ayırır.

» Bu bölgeler çemberin iç bölgesi, dış bölgesi ve üzeridir.

» Çemberin iç bölgesindeki bir noktanın merkeze uzaklığı yarıçaptan küçüktür.

» Çemberin dış bölgesindeki bir noktanın merkeze uzaklığı yarıçaptan büyüktür.

» Çemberin üzerindeki bir noktanın merkeze uzaklığı yarıçapa eşittir.

6. Sınıf 4. Ünite

TAM SAYILAR
Yönlü sayılar günlük hayatımızda karşılaştığımız olayların sayısal ifadelerinde doğal sayılar bazı durumlarda yetersiz kalır. Örneğin borç alma-verme, deniz seviyesinin altına inme-üstüne çıkma, kar-zarar etme gibi durumları doğal sayılarla ifade etmemiz karışıklığa sebep olur. Bu yüzden tam sayılar kümesinde yararlanılır. Tam sayılar kümesine yönlü sayılar kümesi de denilebilir. Olumlu durumlarda pozitif tam sayıları ( + ), olumsuz durumlarda ise negatif tam sayıları ( − ) kullanırız. 
Örnek verecek olursak, Sıcaklık sıfırın altında 20 derece yerine -----> −20 
Deniz seviyesinin 150 metre üstü -----> +150 Zemin katın altındaki 3. kat -----> −3 
25 TL borç -----> −25 
500 TL kâr -----> +500

Yukarıda da gördüğümüz gibi sayıların önüne konulan işaretler sayının yönünü belirtir. Önünde "+" olan sayılara pozitif tam sayılar, önünde "−" olan sayılara ise negatif tam sayılar denir. Sıfır hariç önünde işaret bulunmayan sayıların işareti "+"dır yani pozitif sayılardır. Sıfır sayısı ise ne pozitif ne de negatif bir tam sayıdır. Sıfıra referans noktası deriz. Çünkü sayıların pozitif mi negatif mi olduğunu sıfır ile karşılaştırarak belirleriz. Sayı doğrusunda sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar ise negatiftir.


Pozitif tam sayılar sayı doğrusunda 0'ın sağında yer alır: 1, 2, 3, 4, ...
 Negatif tam sayılar sayı doğrusunda 0'ın solunda yer alır: −1, −2, −3, −4, ... 
Tam sayılar kümesi ise pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırdan oluşur.

MUTLAK DEĞER
 Bir tam sayının referans noktasına yani sıfıra (0) olan uzaklığına o tam sayının mutlak değeri denir. Örneğin −5 sayısının 0'a olan uzaklığı 5 birimdir. Bu yüzden −5'in mutlak değeri 5'tir. Bu durum sembolle | −5 | = 5 şeklinde gösterilir. Sayının yanındaki çizgiler mutlak değer sembolüdür. Mutlak değer sıfıra olan uzaklık olduğu için uzaklık birimi negatif olamayacağından mutlak değer asla negatif bir sayı olamaz. 0 sayısının mutlak değeri 0'dır. Bunun dışındaki sayıların mutlak değeri pozitiftir. 
ÖRNEK: 0'a 3 birim uzaklıkta olan sayıların mutlak değerleri 3'tür. | −3 | = 3 ve | +3 | = 3

TAM SAYILARI KAŞILAŞTIRMA
 Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe sayılar küçülür. Diğer bir ifade ile pozitif sayılar sıfırdan uzaklaştıkça büyür, negatif tam sayılar sıfırdan uzaklaştıkça küçülürler. Sayıları sıralamada “<” ve “>” sembolleri kullanılır. 
ÖRNEKLER:  +5 sayısı +3 sayısının sağında olduğu için +5 > +3 −2 sayısı −7 sayısının sağında olduğu için −2 > −7 Negatif tam sayıları karşılaştırırken borç olarak düşünmeniz karşılaştırmanızı kolaylaştıracaktır. Mesela −7 mi büyük −10 mu diye düşünelim. Sayılar negatif olduğu için −7'yi 7 TL borç, −10'u ise 10 TL borç olarak düşünebiliriz. 7 TL borç 10 TL borçtan daha iyi bir durum olduğu için −7 > −10 deriz. Şu çıkarımlarda bulunabiliriz: 

• Bütün pozitif tam sayılar 0'dan büyüktür. 
• Bütün negatif tam sayılar 0'dan küçüktür. 
• Herhangi bir pozitif tam sayı, bütün negatif tam sayılardan büyüktür.
•  Herhangi bir negatif tam sayı, bütün pozitif tam sayılardan küçüktür. 
• Sayı doğrusundaki bir sayı, sağındaki sayılardan küçük, solundakilerden büyüktür.
•  En büyük negatif tam sayı −1'dir.
•  En küçük pozitif tam sayı +1'dir.

TAM SAYILARDA TOPLAMA

Pozitif 2 sayının toplamı pozitiftir.

Negatif 2 sayının toplamı negatiftir.

Pozitif bir tam sayı ile negatif bir tam sayının toplamı pozitif de negatif de olabilir.

TAM SAYILARDA ÇIKARMA

Çıkarma işlemi yapılırken çıkan sayının işareti değiştirilir ve çıkarma işlemi toplama işlemine dönüştürülür.

ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER

Belirli bir kurala göre dizilmiş sayı dizisine sayı örüntüsü denir
Bir örüntünün kuralındaki değişkeni “n” ile gösterelim. “n” harfi örüntüdeki sayının kaçıncı terim olduğunu belirtir. Bu yüzden n'ye örüntünün n. sayısı, temsilci sayısı veya genel sayısı denir.

CEBİRSEL İFADELER

 En az bir bilinmeyen ve işlem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir.Cebirsel ifadelerde 
  kullanılan harfler sayıları temsil eder bu harfler değişken veya bilinmeyen olarak adlandırılır.

      Bir cebirsel ifadede (+) ve (-) işaretleriyle ayrılan kısımlara terim denir.Terimlerin sayısal
  çarpanına kat sayı denir. 2x+5 cebirsel ifadesi için 2 tane terim vardır. 

 CEBİRSEL İFADELERDE TOPLAMA İŞLEMİ

    Cebirsel ifadelerle toplama işlemi benzer terimler arasında yapılır. Benzer terimlerin         
  katsayıları arasında toplama işlemi uygulanır. (Benzer olmayan terimler toplanamaz.)

CEBİRSEL İFADELERDE ÇIKARMA İŞLEMİ

    Cebirsel ifadelerle çıkarma işlemi toplama işleminde olduğu gibi benzer terimlerin katsayıları arasında yapılır.

CEBİRSEL İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ
Cebirsel ifadelerle çarpma işlemi yapılırken çarpanlardan birindeki her bir terim ile   diğerindeki her bir terim ayrı ayrı çarpılır. Elde edilen sonuçta benzer terimler varsa bunlar arasında toplama çıkarma işlemi yapılarak sadeleştirme yapılır.

Cebirsel ifadelerle çarpma işlemini adım adım inceleyelim.

 Bir terimli bir ifadeyle bir terimli bir ifadeyi çarpmak

  Katsayılar çarpılıp katsayı olarak, bilinmeyenler çarpılıp bilinmeyen olarak sonuca yazılır.

6. Sınıf 3. Ünite

VERİ İŞLEME

ARİTMETİK ORTALAMA VE AÇIKLIK

6. Sınıf 2. Ünite

                                                           ORAN

KESİRLERLE İŞLEMLER

Kesirleri Karşılaştırma ve Sayı Doğrusunda Gösterme

1-Bütüne Olan Yakınlıklarıyla Kesirleri Karşılaştırma

2-Yarıma Olan Yakınlıklarıyla Kesirleri Karşılaştırma 

3-Paylarının Eşitliğine Göre Kesirleri Karşılaştırma

4-Paydalarının Eşitliğine Göre Kesirleri Karşılaştırma

 KESİRLERİN SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERİMİ

Bir kesrin paydası her bütün arasının kaç eşit parçaya bölüneceğini, payı ise bu parçalardan kaç tanesinin alınacağını gösterir.

Aşağıdaki kesirleri sayı doğrusunda göstererek karşılaştıralım.

 kesrinin paydası 4 olduğu için her bütün arasını 4 eşit parçaya bölmemiz gerekir. Payı ise 9 olduğu için sıfırdan başlayarak 9 parçayı almamız gerekir.

 kesrinin tam kısmı 1 olduğu için bu kesir 1 den büyük 2 den küçüktür. Bir başka deyişle 1 ile 2 arasındadır. Paydası 4 olduğu için 1 ile 2 arasını 4 eşit parçaya bölmemiz gerekir. Payı ise 2 olduğu için 2 parçayı almamız gerekir.

 kesrinin tam kısmı 2 olduğu için bu kesir 2 den büyük 3 ten küçüktür. Bir başka deyişle 2 ile 3 arasındadır. Paydası 4 olduğu için 2 ile 3 arasını 4 eşit parçaya bölmemiz gerekir. Payı ise 3 olduğu için 3 parçayı almamız gerekir.

 kesri basit kesirdir. Yani 0 ile 1 arasındadır. Kesrin paydası 4 olduğu için 0 ile 1 arasını 4 eşit parçaya bölmemiz gerekir. Payı ise 3 olduğu için sıfırdan başlayarak 3 parçayı almamız gerekir.

Bu sayıları aşağıdaki gibi sayı doğrusunda gösterebiliriz.

 Sayı doğrusunda sayılar soldan sağa doğru gittikçe büyüdüğü için bu sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

KESİRLERDE TOPLAMA İŞLEMİ

KESİRLERDE ÇIKARMA İŞLEMİ

KESİRLERDE ÇARPMA İŞLEMİ

KESİRLERDE BÖLME İŞLEMİ

KESİRLERDE TAHMİN

ONDALIK GÖSTERİM

Kesirlerin ondalık gösterimini bulmak için iki yol kullanılabilir. 

1-Bölme İşlemi Uygulayarak:

 8/5 kesrini Ondalık Kesir olarak gösterelim.

 8 sayısını 5 sayısına böldük. Kalan 3 sayısı 5’e bölünmediği için 3 ün yanına sıfır ekledik. Bölümdeki 1 sayısının yanına da virgül ekledik. Bu işlemi kalan 0 olana kadar uygularız.

2- Paydayı 10'un Üsleri Biçiminde Yazarak Bulma:

 Kesirlerin Ondalık gösterimini bulmak için Kesirlerin paydasını 10, 100, 1000 şeklinde 10 sayısının üsleri biçiminde yazarak bulabiliriz. Örnek: 8/5 kesrini Ondalık Kesir olarak gösterelim.

 Çözüm: Paydayı 10 yapmak için kesri 2 ile genişlettik. Paydada bulunan 10 sayısında bir tane sıfır bulunduğu için sonuç kısmında virgülden sonra 1 tane sayı bulunur. 

Devirli Ondalık Kesir:

Paydası 10, 100, 1000 gibi sayılar olamayan Kesirlere Devirli ondalık kesir denir. Aşağıdaki örnekte devirli ondalık kesrin gösterimi verilmiştir. Örnek: 30/9 kesrini ondalık kesir olarak gösterelim. 

Çözüm: Payda 10, 100 ,1000 gibi sayılar olamayacağından bu kesri devirli ondalık kesir olarak gösterebiliriz. 30 sayısını 9'a böldük. Kalan 3 olduğu için ve 9'a bölünmediği için yanına bir 0 ekledik ve bölüm kısmına virgül ekledik. Kalan devamlı olarak 3 çıktığı ve 9'a tam bölünmediği için yanına sıfır ekleyerek bölme işlemini ilerlettik. Görüldüğü gibi bu işlem sonsuza kadar devam edecektir. Virgülden sonraki 3 sayısı sonsuza kadar gittiği için üzerine işaret bırakırız.

ONDALIK KESİRLERİ ÇÖZÜMLEME

ONDALIK KESİRLERİ YUVARLAMA

ONDALIK KESİRLERLE ÇARPMA İŞLEMİ

ONDALIK KESİRLERLE BÖLME İŞLEMİ

ONDALIK GÖSTERİMLERİ 10, 100 ve 1 000 ile KISA YOLDAN ÇARPMA VE BÖLME

ONDALIK GÖSTERİMLE YAPILAN İŞLEMLERİN SONUCUNU TAHMİN ETME